?

Log in

No account? Create an account

rauf


Блог Алиева Рауфа

О жизни и о себе


Previous Entry Поделиться Next Entry
О великой теореме Ферма
rauf
Несколько лет назад мне попалась на глаза интересная книжка Саймона Сингха, «Великая теорема Ферма». В ней почти нет формул и заумных предложений, зато с интересом изложен сам путь к доказательству этой загадки.

Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта написал следующее (перевод, разумеется):

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.


То есть, Ферма заявлял, что ни для какого N>2 и натуральных a,b,c, aN + bN не будет равняться сN. Причем, что добавляло остроты, писал, что доказательство у него даже есть и, похоже, оно очень простое.
Что касается случая с N=2, так это обычные "пифагоровы штаны".



Математический народ взрывал мозг, чтобы вывести общее доказательство, но непросто было даже с частными случаями — все они были сами по себе весьма сложны.

В 1770 году Леонард Эйлер доказал теорему для случая N=3.
Дерихле и Лежандр в 1825 году доказали для случая N=5.
Габриэль Ламе - для N=7.
До середины двадцатого века доказали разные частные случаи вплоть до 619. Опытным путем проверили миллионы вариантов и всё сходилось. Не нашли ни одного исключения. А доказательства не было.

С заявления Ферма прошло сто лет. Никому не удавалось продвинуться сколь-нибудь близко. Потом еще сто лет. В кругу математиков появилось презрительное прозвище - фермист. Вот, возьмем, для примера, журнал «Квант» 1972 года:

...Несмотря на то, что теорема ферма доказана для большого числа частных случаев (например, для N<619), в полном своем виде она также далека от решения, как и триста лет назад. Опыт развития математики с тех пор со всей очевидностью показал полную беспочвенность надежд на «элементарное» доказательство Великой теоремы Ферма — надежд, столь, увы, соблазнтельных для людей, любящих не столько математику, сколько успех в математике. Правда, «ферматисты» успехом не избалованы; люди они, как правило, несчастные, и мы со всей серьезностью хотели бы предостеречь наших юных читателей от такой карьеры...


Как видите, на этой проблеме математики уже почти что поставили крест. Тут я сделаю отсутпление и расскажу о другой теореме, которая, как мы увидим дальше, имеет к теореме Ферма прямое отношение.

Молодой японский математик Ютака Танияма выдвинул гипотезу, согласно которой каждой эллиптической кривой на плоскости соотвествует определенная модулярная форма. Модулярные формы открыты еще в 19 веке, это четырехмерные формы, которые нашими трехмерными мозгами плохо постижимы. Танияма смело связал их с плоскими эллиптическими кривыми и заявил, что такая связь однозначна. Доказать он ее не смог, звучала она для математической общественности весьма дико, потому что в определенной форме рушила имеющиеся в то время основополагающие принципы. Математики в один голос говорили, что это бред и не более чем забавные совпадения. Танияма потерял веру в будущее и продолжив самурайские традиции решил проблему отношения к себе весьма остро:

До вчерашнего дня у меня не было цели покончить с собой. Но некоторые должны были обратить внимание, что в последнее время я устал и физически, и морально. Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее. Может быть, есть кто-то, для кого моё самоубийство будет ударом. Я искренне надеюсь, что это событие не бросит тень на будущее этого человека. Во всяком случае, я не могу отрицать, что это будет предательством с моей стороны, но прошу простить меня за этот поступок.

Через месяц наложила на себя руки его девушка: «Мы обещали друг другу, что что бы ни случилось, мы всегда будем вместе. Теперь, когда он ушёл, я тоже должна уйти, чтобы присоединиться к нему.»

Напомню, что все это происходило в середине 20-го века.

В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, напоминающее теорему:Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будет доказана и Великая теорема Ферма. Фрей методом хитроумных преобразований свел уравнение Ферма к эллиптическим кривым, но с доказательством у него тоже особо не заладилось. В 1986 году Кеннет Рибет, профессор университета Калифорнии, четко доказал теорему Фрея. В результате, разгадка теоремы Ферма теперь стала ближе: чтобы доказать ее, нужно было доказать гипотезу Таниямы.

Последний аккорд выпал на долю Эндрю Джона Уайлса. На одной из математических конференций он представил свое доказательство гипотезы Таниямы, а следовательно и Великой теоремы Ферма. Перед тем, как представить миру свое достижение, он тщательно перепроверял его сам и просил это сделать других. Все выглядело замечательно и стройно. На конференции и после нее множество математических умов не нашли ни одного изъяна, и вот уже доказательство готовится к публикации, как буквально в последние дни в нем находятся небольшие несостыковки. Причем они рушили всю идею доказательства и в глазах ученого мира причислили бы Уайлса к широкому строю «фермистов» эпохи. Примерно год с небольшим потребовался Уайлсу для того, чтобы исправить этот недочет. Летом 1995 года в журнале «Анналы математики» было опубликовано полное доказательство гипотезы Таниямы. Оно заняло почти весь номер - около ста листов. Понять целиком его смогли лишь несколько десятков человек в мире, оно весьма сложно.

А что касается самого Ферма, то очень вероятно, что он либо ошибся, доказывая свою гипотезу, либо просто слукавил, что имеет четкое доказательство. Итоговое доказательство никак не могло быть доступно в 15 веке, уж слишком там много «высокой математики», более поздних открытий, тому времени еще совершенно неведомых.


  • 1

О великой теореме Ферма

Да, печально всё это. Хотя... многие довольно прохладно отнеслись к событию, описанному Сингхом. Но книжка стала бестселлером! Беда в том, что если человек прочёл задачу и понял смысл вопроса, то он по какой-то непонятной причине обретает уверенность, что ему под силу эта задача. В этом и проблема. Но запас знаний обычно ограничен школьной программой и институтом... А эти программы готовили и создавали те, кто сам не смог решить эту бородатую проблему... Замкнутый круг.

  • 1