Rauf Aliev (rauf) wrote,
Rauf Aliev
rauf

Category:

О великой теореме Ферма

Несколько лет назад мне попалась на глаза интересная книжка Саймона Сингха, «Великая теорема Ферма». В ней почти нет формул и заумных предложений, зато с интересом изложен сам путь к доказательству этой загадки.

Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта написал следующее (перевод, разумеется):

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.


То есть, Ферма заявлял, что ни для какого N>2 и натуральных a,b,c, aN + bN не будет равняться сN. Причем, что добавляло остроты, писал, что доказательство у него даже есть и, похоже, оно очень простое.
Что касается случая с N=2, так это обычные "пифагоровы штаны".



Математический народ взрывал мозг, чтобы вывести общее доказательство, но непросто было даже с частными случаями — все они были сами по себе весьма сложны.

В 1770 году Леонард Эйлер доказал теорему для случая N=3.
Дерихле и Лежандр в 1825 году доказали для случая N=5.
Габриэль Ламе - для N=7.
До середины двадцатого века доказали разные частные случаи вплоть до 619. Опытным путем проверили миллионы вариантов и всё сходилось. Не нашли ни одного исключения. А доказательства не было.

С заявления Ферма прошло сто лет. Никому не удавалось продвинуться сколь-нибудь близко. Потом еще сто лет. В кругу математиков появилось презрительное прозвище - фермист. Вот, возьмем, для примера, журнал «Квант» 1972 года:

...Несмотря на то, что теорема ферма доказана для большого числа частных случаев (например, для N<619), в полном своем виде она также далека от решения, как и триста лет назад. Опыт развития математики с тех пор со всей очевидностью показал полную беспочвенность надежд на «элементарное» доказательство Великой теоремы Ферма — надежд, столь, увы, соблазнтельных для людей, любящих не столько математику, сколько успех в математике. Правда, «ферматисты» успехом не избалованы; люди они, как правило, несчастные, и мы со всей серьезностью хотели бы предостеречь наших юных читателей от такой карьеры...


Как видите, на этой проблеме математики уже почти что поставили крест. Тут я сделаю отсутпление и расскажу о другой теореме, которая, как мы увидим дальше, имеет к теореме Ферма прямое отношение.

Молодой японский математик Ютака Танияма выдвинул гипотезу, согласно которой каждой эллиптической кривой на плоскости соотвествует определенная модулярная форма. Модулярные формы открыты еще в 19 веке, это четырехмерные формы, которые нашими трехмерными мозгами плохо постижимы. Танияма смело связал их с плоскими эллиптическими кривыми и заявил, что такая связь однозначна. Доказать он ее не смог, звучала она для математической общественности весьма дико, потому что в определенной форме рушила имеющиеся в то время основополагающие принципы. Математики в один голос говорили, что это бред и не более чем забавные совпадения. Танияма потерял веру в будущее и продолжив самурайские традиции решил проблему отношения к себе весьма остро:

До вчерашнего дня у меня не было цели покончить с собой. Но некоторые должны были обратить внимание, что в последнее время я устал и физически, и морально. Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее. Может быть, есть кто-то, для кого моё самоубийство будет ударом. Я искренне надеюсь, что это событие не бросит тень на будущее этого человека. Во всяком случае, я не могу отрицать, что это будет предательством с моей стороны, но прошу простить меня за этот поступок.

Через месяц наложила на себя руки его девушка: «Мы обещали друг другу, что что бы ни случилось, мы всегда будем вместе. Теперь, когда он ушёл, я тоже должна уйти, чтобы присоединиться к нему.»

Напомню, что все это происходило в середине 20-го века.

В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, напоминающее теорему:Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будет доказана и Великая теорема Ферма. Фрей методом хитроумных преобразований свел уравнение Ферма к эллиптическим кривым, но с доказательством у него тоже особо не заладилось. В 1986 году Кеннет Рибет, профессор университета Калифорнии, четко доказал теорему Фрея. В результате, разгадка теоремы Ферма теперь стала ближе: чтобы доказать ее, нужно было доказать гипотезу Таниямы.

Последний аккорд выпал на долю Эндрю Джона Уайлса. На одной из математических конференций он представил свое доказательство гипотезы Таниямы, а следовательно и Великой теоремы Ферма. Перед тем, как представить миру свое достижение, он тщательно перепроверял его сам и просил это сделать других. Все выглядело замечательно и стройно. На конференции и после нее множество математических умов не нашли ни одного изъяна, и вот уже доказательство готовится к публикации, как буквально в последние дни в нем находятся небольшие несостыковки. Причем они рушили всю идею доказательства и в глазах ученого мира причислили бы Уайлса к широкому строю «фермистов» эпохи. Примерно год с небольшим потребовался Уайлсу для того, чтобы исправить этот недочет. Летом 1995 года в журнале «Анналы математики» было опубликовано полное доказательство гипотезы Таниямы. Оно заняло почти весь номер - около ста листов. Понять целиком его смогли лишь несколько десятков человек в мире, оно весьма сложно.

А что касается самого Ферма, то очень вероятно, что он либо ошибся, доказывая свою гипотезу, либо просто слукавил, что имеет четкое доказательство. Итоговое доказательство никак не могло быть доступно в 15 веке, уж слишком там много «высокой математики», более поздних открытий, тому времени еще совершенно неведомых.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 1 comment